Er uendelig kommet i forskellige størrelser?


I 1995-filmen Toy Story springer gung-ho-rumsaktionsfiguret Buzz Lightyear utrætteligt på sin fangstfras: "Til uendelig ... og videre!" Vilden er selvfølgelig forankret i den helt fornuftige antagelse om, at uendelighed er det uovertruffen absolutte - at der ikke er noget ud over Denne antagelse er imidlertid ikke helt forsvarlig. S

I 1995-filmen Toy Story springer gung-ho-rumsaktionsfiguret Buzz Lightyear utrætteligt på sin fangstfras: "Til uendelig ... og videre!" Vilden er selvfølgelig forankret i den helt fornuftige antagelse om, at uendelighed er det uovertruffen absolutte - at der ikke er noget ud over Denne antagelse er imidlertid ikke helt forsvarlig. Som tysk matematiker Georg Cantor demonstrerede i slutningen af ​​det 19. århundrede eksisterer en række uendigheder - og de kan klassificeres efter deres relative størrelser.

Naturlig logik

Tag f.eks. De såkaldte naturlige tal: 1, 2, 3 og så videre. Disse tal er ubundne, og dermed er samlingen eller sætningen af ​​alle de naturlige tal uendelig i størrelse. Men lige så uendelig er det? Cantor brugte et elegant argument for at vise, at naturalerne, men uendeligt mange, faktisk er mindre talrige end en anden almindelig familie af tal: de reelle tal. Dette sæt omfatter alle tal, som kan repræsenteres som en decimal, selvom den decimalrepræsentation er uendelig i længden. Derfor er pi (3.14159 ...) et reelt tal, som det er 27 (hvilket er både naturligt og reelt).

Cantorens argument brugte logikken til modsigelse: han antog først, at disse sæt er af samme størrelse; næste fulgte han en række logiske trin for at finde en fejl, der ville underminere denne antagelse. Han begrundede, at hvis naturals og reals har lige mange medlemmer, så kan de to sæt sættes i en en-til-en korrespondance. Det vil sige, de kan parres således, at hvert element i hvert sæt har en og kun en "partner" i det andet sæt.

Tænk på det på denne måde: Selv i mangel af numerisk tælling kan en-til-en-korrespondancer anvendes til at måle relative mængder. Forestil dig to kasser af ukendte størrelser, en af ​​æbler og en af ​​appelsiner. Uddragelse af et æble og en appelsin på et tidspunkt, således at partnerne sætter de to æble-orange par. Hvis indholdet af de to kasser tømmes samtidigt, indeholder de to kasser et lige antal frugter; hvis en kasse er opbrugt før den anden, er den med resterende mad mere rigelig.

Crafty Math

Cantor begyndte således ved at antage, at naturals og reals er i en sådan korrespondance. Derfor har hvert naturligt antal n en ægte partner r n . Realerne kan derefter noteres i rækkefølge af deres tilsvarende naturaler: r 1, r 2, r 3 osv.

Derefter kommer Cantor's wily side ud. Han oprettede et reelt tal, kaldet p, ved følgende regel: Lav tallet n efter decimalpunktet i p andet end cifferet i samme decimaltal i r n . En simpel metode ville være: Vælg 3, når det pågældende tal er 4; Ellers skal du vælge 4.

For demonstrationens skyld skal du sige, at ægteparparten for det naturlige nummer 1 er 27 (eller 27.00000 ...), parret til 2 er pi (3.14159 ...), og at 3 er præsident George W. Bushs andel af populær stemme i 2000 (0, 477868 ...). Opret nu følgende Cantors konstruktion: cifferet i den første decimaltal af p bør ikke være lig med det i første decimaltal af r 1 (27), hvilket er 0. Vælg derfor 4, og p begynder 0, 4 ... . (Nummeret før decimaltalet kan være noget; 0 bruges her for enkelhed.) Vælg derefter cifferet i anden decimal, så det ikke svarer til det andet decimaltal af r 2 (pi), hvilket er 4. Vælg 3, og nu p = 0, 43 .... Endelig skal du vælge cifferet i tredje decimaltal for p, så det ikke svarer til det i det tilsvarende decimaltal på r 3 (præsident Bushs procent), hvilket er 8. Skriv 4 igen, hvilket gør p = 0.434 .... Således har du:

Denne matematiske metode (kaldet diagonalisering) fortsætter uendeligt ned i listen, genererer et reelt tal ( p ), der adskiller sig fra alle reelle tal på listen i mindst en decimal. Ergo, det kan ikke være på listen.

Med andre ord, for enhver sammenkobling af naturals og reals, eksisterer der et reelt tal p uden en naturlig nummerpartner-et æble uden en orange. Derfor svigter enhver en-til-en korrespondance mellem realerne og naturalerne, hvilket betyder, at uendeligen af ​​reelle tal på en eller anden måde er større end uendelig naturlige tal.

Denne artikel blev oprindeligt udgivet med titlen "Er Infinity Come In Different Sizes?" in298, 1, 112 (januar 2008)

OM AUTOREN (S)

John Matson er en kopi editor på .

Seneste nyt

Trump rådgivere til at diskutere Paris klimaaftaleKan en robot, et insekt eller Gud være opmærksom?Deportere planter og dyr for at beskytte dem mod klimaændringerFolk i dårlige kvarterer puster mere farlige partiklerNyligt fundet Exoplanet kan have Ring System Dwarfing SaturnusConjoined Comet: Hartley 2 maj har dannet sig fra 2 forskellige organerDen berømte "HeLa" Human Cell Line får sin DNA sekvenseretKan e-cykler skifte biler?